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La didactique des opérations arithmétiques : l’apport des grandes théories psychologiques

dimanche 9 mars 2003, par Patrick Picard

Psycho et enseignement...

Attention, cet article est ancien. N'hésitez pas à vous adresser à la section pour vous assurer que les renseignements qui y figurent sont toujours valables.

Notes de la conférence de Rémi Brissiaud, Maître de conférence IUFM de Versailles (entendu aux entretiens Retz/Le Monde de l’Education)

Abstraction et résolution de problèmes

Prenons un problème : une boite de punaises, une bougie et une boîte d’allumette : comment accrocher la bougie au mur et l’allumer ?

Si on présente la boîte de punaise vide, le problème est résolu par 80%, au lieu de 40 : l’apprenant change son point de vue sur la boite qui passe de "contenant" à "support". Je peux alors m’autoriser à y mettre la bougie et accéder à la solution.

Abstraire, c’est abandonner des propriétés. Cela ouvre de nouvelles possibilités d’action, dont, parfois, celle qui amène à la solution…

Les deux processus d’abstratction qui permettent la conceptualisation arithmétique : l’exemple des soustractions et des fractions

Et si on cherchait d’abord à comprendre, avant toute leçon, ce que savent faire les enfants…

Encore deux problèmes :
Léa a 47 billes, elle en perd 3

Résultat : 56% de réussite (Le jeune enfant fait : 47… 46...45… 44 !)

Léa a 47 billes, elle en perd 44. Résultat : 15% de réussite (47… 46… 45… 44… 43…42… 41… et l’enfant se perd avant d’ arriver au bout. Il ne pense pas à faire "44…45…46…47" comme un adulte le fait pour faire 102-94 (94+6=100+2= 102).

Il ne va donc pas de soi que les opérations sont équivalentes. Il y a quelque chose d’incompatible à "avancer" sur la suite ds nombres pour chercher le résultat… d’un retrait !

L’enjeu de l’Ecole est donc de conceptualiser l’équivalence A-B =C <=> C+B=A.

On peut faire dessiner, dessiner en organisant les dizaines… et là il va trouver la solution… Le simple fait de faire le schéma donne la solution : en codant spatialement les propriétés liées à la numération, il abandonne les propriétés ordinales et accède à l’équivalence.

Mais il n’en a alors aucune conscience.

Il faut un deuxième processus d’abstraction :

- faire prendre conscience de l’équivalence,

- donner accès aux raisons qui la fondent,

- la formuler en terme d’action (et donc de sa généralisation potentielle), et donc de

- faire fonctionner les signes arithmétiques comme symboles d’équivalence. On peut pour cela utiliser des fiches de travail qui vont coder (files de boites de calcul à 10 (cf Picbille)) qui vont permettre un codage théorique de la situation.

Même raisonnement sur les fractions :

(problème posé en CM1 avant d’enseigner les fractions) :

"3 pizzas sont dans le four, à partager entre 4 enfants. L’un d’eux doit manger sa part avant les autres…Il sort une pizza… Que doit-il prendre ?".

Résultat : 5% de réussite

Mais le problème "On doit partager 3 pizzas en 4 part égales…" obtient 65% de réussite.

Les enfants découpent CHAQUE pizza en 4, en donnent un morceau à chacun…

Pourant, lorsqu’on a réussi le second, la solution du premier s’impose : trois unités en 4, c’est 3/4 d’unité à chacun… L’abstraction, une fois de plus, n’est pas équivalente… Le second problème engendre l’idée simple que chacune des parts d’une pizza est donnée à chacun des enfants différents…
Seconde abstraction : on fait pareil avec 5 pizzas partagées en 8. On va alors expliciter en terme d’action, de symboles… 5/8, c’est 5 divisé par 8, ou cinq huitièmes… Le signe / devient équivalent…

Le rôle ambivalent du symbolisme arithmétique

"On ne m’a jamais parlé de ça, et je ne m’en suis pas si mal tiré…" me direz-vous.

Mais que faites vous pour le problème : Hercule Poirot doit interroger 4 personnes en 3 heures ? Vous passez par les minutes ((3x60mn)/4) ou vous faites directement 3/4 h ?

Essayez autour de vous. A l’école, beaucoup s’en tiennent à une utilisation "opportuniste" de l’arithmétique. Leur a-t-on enseigné les "règles" (tu as le droit de…) ou a-t-on crée des situations pour que les enfants s’approprient les équivalencent entre situations, et accèdent ainsi au vrai sens symbolique des symboles mathématiques, et ensuite aux règles de manipulation de ses symboles ?

L’apport des grandes théories psychologiques
Devenir expert, c’est arriver à un niveau stratégique, utiliser une panoplie de précédures parmi lesquelles ont choisit selon le contexte.

Brissiaud et alii…

"Traité des sciences cognitives, le traitement des activités numériques chez l’enfant"

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